最近十年來,我花了不少工夫,在清華大學(xué)聘請(qǐng)了一批世界一流學(xué)者。我很高興地看到,中國(guó)的數(shù)學(xué)和基礎(chǔ)科學(xué)水平蒸蒸日上,有了很大發(fā)展。
今天的講座,我要說的是一件很重要的事,我始終希望能跟我的同事、學(xué)生們分享,這就是中國(guó)數(shù)學(xué)和基礎(chǔ)科學(xué)的前路到底該怎么走。
我們要走的是一個(gè)能夠帶領(lǐng)全世界數(shù)學(xué)和基礎(chǔ)科學(xué)走向的方向,這才算得上世界第一流。假如做學(xué)問都是跟著人家后面走,那是不能解決重要問題的。目前遇到的所謂“卡脖子”的問題,也是因?yàn)樵诤芏嘀匾獑栴}上,還是跟著別人走。因此今天我想跟大家具體討論,什么是第一流的學(xué)問,特別是第一流的學(xué)問在數(shù)學(xué)領(lǐng)域如何產(chǎn)生。
何為“學(xué)”,何為“問”
首先,學(xué)問有兩個(gè)部分,一個(gè)是“學(xué)”,一個(gè)是“問”??鬃诱f:“學(xué)而不思則罔,思而不學(xué)則殆。”思考其實(shí)就是問。我們中國(guó)人擅長(zhǎng)考試,學(xué)習(xí)別人提出來的各種方法和技巧,磨煉得很熟。但如果僅僅是善于答題,那么對(duì)科學(xué)的發(fā)展,貢獻(xiàn)并不多。目前,我們雖然不斷地獲得奧數(shù)比賽金牌,但是尚未出現(xiàn)一大批解決偉大數(shù)學(xué)問題的學(xué)者。因此,一定要曉得到底如何做學(xué)問,如何做一流的學(xué)問。
其次,做學(xué)問需要勤奮。沒有基本工具,只靠思考是沒有用的??鬃诱f“思而不學(xué)則殆”,就是說只思考不學(xué)習(xí)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展至今已經(jīng)有兩千五百多年的歷史,先后涌現(xiàn)出了許多天才數(shù)學(xué)家。從歐幾里得、畢達(dá)哥拉斯、阿基米德,到后來的費(fèi)馬、笛卡爾、牛頓、高斯、歐拉、拉格朗日、黎曼、希爾伯特等,一層一層將數(shù)學(xué)這幢大廈搭建得越來越高。無論我們天分多好、多么擅長(zhǎng)思考,我們的學(xué)問、創(chuàng)造力都必須以他們的學(xué)問為基礎(chǔ)。微積分就是從阿基米德那個(gè)時(shí)候慢慢發(fā)展,最終由牛頓、萊布尼茨完成。這個(gè)過程是沒辦法跳躍的,每一步都必須建立在前人學(xué)問的基礎(chǔ)上。牛頓曾說:“如果說我看得比別人更遠(yuǎn)些,那是因?yàn)槲艺驹诰奕说募绨蛏稀?rdquo;這不是謙虛,他的工作就是在前人的基礎(chǔ)上做出來的。今天,我們要帶領(lǐng)世界學(xué)問的潮流,非將前人的學(xué)問學(xué)好不可,而在這個(gè)過程中,勤奮絕對(duì)重要。
為什么要提出問題
“尋天人樂處,拓萬古心胸”,這是清華大學(xué)求真書院的院訓(xùn)。究其根源,我們所做的學(xué)問,尤其科學(xué)和數(shù)學(xué),都是與大自然密切關(guān)聯(lián)的。我們要在追尋大自然奧秘的過程中,找到它最有意義、最有樂趣之處。假如我們不了解、不欣賞大自然的奧秘與樂趣,學(xué)問是始終做不好的,這就是“尋天人樂處”。“拓萬古心胸”則是說,做學(xué)問不只是為了拿獎(jiǎng)、做院士,而是希望所作的學(xué)問能夠在科學(xué)史上留下重要的軌跡?!对娊?jīng)》《楚辭》以及李白、杜甫的詩歌,過了上千年,讀起來還是饒有意趣,這是因?yàn)樗麄儗?duì)大自然的美、對(duì)人世喜怒哀樂的描述,讓人至今都覺得親切自然,這就是我說的“天人樂處”。我們做的學(xué)問也要引起后代的共鳴,讓他們曉得我們今天開創(chuàng)的方向、發(fā)現(xiàn)的規(guī)律有怎樣的重要意義。
我們要考慮整個(gè)學(xué)問向前走的方向到底是什么,應(yīng)該如何去認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的內(nèi)在結(jié)構(gòu),這是許多大數(shù)學(xué)家常常思考的問題。大學(xué)問家往往會(huì)提出很多問題。如果不提出自己原創(chuàng)的問題,更多的是解答別人的問題,這不見得是數(shù)學(xué)和科學(xué)的真髓。我以為,重要的是要找出自己的方向?!抖Y記·學(xué)記》說:“善待問者如撞鐘,叩之以小者則小鳴,叩之以大者則大鳴。”這里撞的“鐘”,就是大自然和萬物運(yùn)行的規(guī)律。深入的問題能夠指向大自然奧秘的深處,很快幫助我們引出其他有意義的相關(guān)問題。
由希爾伯特23問說開去
希爾伯特23問是數(shù)學(xué)歷史上一個(gè)非常重要的問題集。1900年8月8日,德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特做了題為《數(shù)學(xué)問題》的演講。他認(rèn)為,從19世紀(jì)進(jìn)入20世紀(jì),數(shù)學(xué)家們提出一些重要的問題,對(duì)于推動(dòng)學(xué)科進(jìn)步的作用毋庸置疑。他說,一個(gè)學(xué)科能夠產(chǎn)生大量重要問題,才能保持活力。這23個(gè)問題,基本上可以說引領(lǐng)了數(shù)學(xué)界后來50年的發(fā)展。當(dāng)然這23個(gè)問題不是全部由他提出的,也包括從前大數(shù)學(xué)家的問題,比如黎曼等。這些問題迄今未全部解決,但其中部分問題的解決,已經(jīng)促進(jìn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的重要發(fā)展。
1978年,我在普林斯頓高等研究院組織幾何年特別會(huì)議——微分幾何論壇,帶領(lǐng)一批數(shù)學(xué)家、幾何學(xué)家研究幾何方面主要的方向。會(huì)議最后幾周,我徇眾要求,提出了120個(gè)幾何方面最重要的問題。雖然我提出的問題無法跟希爾伯特23問相提并論,但還是很有意義的——對(duì)當(dāng)時(shí)幾何學(xué)遇到的困難主要在什么地方進(jìn)行思考、指出學(xué)科向前走的方向,以及解決后會(huì)產(chǎn)生什么重要的結(jié)果和影響。從短期來說,一些好的問題可能不會(huì)立即產(chǎn)生很大影響,還需要我們花時(shí)間去消化、去思考。但是,這些問題一經(jīng)提出,往往會(huì)影響到數(shù)學(xué)中某些學(xué)科的方向。我提出的120問促成了一個(gè)重要學(xué)科“幾何分析”的發(fā)端。
當(dāng)時(shí)提出的這些問題,目前已經(jīng)有大概三分之一被解決,大部分都是正面的解決,基本印證了猜想的方向是重要的、是正確的,很多數(shù)學(xué)家在解決這些問題方面也得到了很好的結(jié)果。
好的問題是什么樣的
好的問題讓人豁然開朗。思考這個(gè)問題本身,能發(fā)展出一系列的想法、催生出一系列文章。無論最終是否解決,僅僅推敲、研究這個(gè)問題的過程都很重要。好的問題通常是簡(jiǎn)潔、漂亮的。解決了它,其所在領(lǐng)域里許多問題可能都會(huì)隨之解決,就像在長(zhǎng)江里面有一塊巨石,將巨石挪開,水流就會(huì)頓時(shí)變得順暢。
能否聽出鼓的面積?
我要舉例的第一個(gè)問題,是關(guān)于聲音和幾何的關(guān)系。
古希臘時(shí)代,人類就認(rèn)識(shí)到聲音由一些基本音組合而成。無論彈鋼琴或是打鼓,敲擊會(huì)產(chǎn)生不同頻率的波動(dòng),發(fā)出聲音。波動(dòng)由多個(gè)基本波組合而來,對(duì)應(yīng)各個(gè)基本音級(jí)。每個(gè)基本波有固定的頻率,頻率則可由鼓的譜計(jì)算得到。波動(dòng)會(huì)產(chǎn)生很漂亮的圖形,幾何學(xué)家十分重視。
著名的幾何學(xué)家博赫納(Salomon Bochner)提過的一個(gè)問題:我們可否聽出鼓的形狀?這一問題的思想可以追溯至1910年。當(dāng)時(shí),量子力學(xué)剛萌芽,物理學(xué)家洛倫茲(H.A. Lorentz)提出:是否可以通過鼓聲的譜和頻率估算鼓的面積?希爾伯特對(duì)這個(gè)有趣的問題很感興趣,但認(rèn)為它太難,有生之年,不可能看到它的解決。但過了一年后,希爾伯特的學(xué)生外爾(Hermann Weyl)就把問題解決了。外爾認(rèn)為,譜越來越高,按照量子力學(xué)的觀念,即譜的觀念,可以推測(cè)到局部的幾何變化,從而推導(dǎo)出外爾方程。這是個(gè)很重要的方程,對(duì)今天的數(shù)學(xué)仍然有重要的影響。外爾的思路和方法還可以向前追溯。歐拉花了很多工夫研究在k為正數(shù)時(shí),1/nk的和,發(fā)展出重要的泛函方程。黎曼將其推廣,寫下了著名的黎曼ζ函數(shù)。這個(gè)劃時(shí)代的工作,影響了數(shù)論的發(fā)展。外爾又推廣了黎曼ζ函數(shù)的思想到一般的空間,用以研究“聽鼓聲估算面積”這一問題,并最終解決。
能否聽出鼓的面積——這個(gè)問題由洛倫茲從物理現(xiàn)象出發(fā),提出問題,最終由外爾解決。這個(gè)問題簡(jiǎn)潔、自然且有趣,而其解決問題的方法最終引發(fā)了幾何學(xué)上不少重要的進(jìn)展。
譜可以視為幾何圖形的量子訊息,事實(shí)上可以得到量子訊息和幾何的關(guān)系。譜向無窮增大時(shí), 得到局部的幾何訊息,包括曲率、面積元等;譜小時(shí),得到幾何的拓?fù)浠蚴呛暧^訊息。幾何學(xué)家對(duì)幾何圖形最小的譜也有濃厚的興趣。
關(guān)于極小曲面的猜想
我們生活中可以看到很多極小曲面。比如,在盛有肥皂水的盆里,將鐵線放在水中提拉出來,形成的薄薄的肥皂膜,就是極小曲面。而在實(shí)驗(yàn)中,我們可以構(gòu)造更多不同形象的極小曲面。幾何學(xué)家熱衷于了解它們的性質(zhì)。1977年,我提出一個(gè)問題:如何能找到所有完備沒有邊界的極小曲面?經(jīng)過40年的努力,我的同學(xué)米克斯(William Hamilton Meeks III)已經(jīng)基本解決了這個(gè)問題。
我的第二個(gè)猜想更困難,到現(xiàn)在還沒全部解決。我提出,可不可以找到三維球中所有緊致極小曲面?我的朋友勞森(Herbert Blaine Lawson,Jr.)構(gòu)造出一些有趣的例子,被稱作勞森曲面(Lawson Surface)。假如將這個(gè)曲面放在四維空間的單位球里,然后從圓心取直線和這個(gè)曲面的每一個(gè)點(diǎn)聯(lián)結(jié)起來可得到一個(gè)三維錐,即一個(gè)三維極小流形。這后來成為廣義相對(duì)論中描述時(shí)空的重要工具。我解決的另一個(gè)重要問題——廣義相對(duì)論中的正質(zhì)量猜想,簡(jiǎn)單來說,主要方法就是研究肥皂泡在時(shí)空引力下如何變化。
如果把極小流形當(dāng)作一個(gè)鼓面,敲擊后得到一個(gè)譜,那么最小的譜等于多少?1974年,我提出,三維球中的極小曲面第一個(gè)譜λ1等于2。我與很多朋友討論,他們都被這奇妙的猜測(cè)嚇了一跳,卡拉比先生認(rèn)為我很有洞察力。幾年后,有兩位個(gè)數(shù)學(xué)家證明了三維球中的極小曲面最小的譜在1和2中間,這個(gè)答案已經(jīng)在極小曲面的研究中很有用了。
數(shù)學(xué)中的“賦比興”
完成上述猜想的過程中,我的基本方法是,比較兩個(gè)完全不同的觀念,一個(gè)是幾何的觀念,一個(gè)是量子力學(xué)的觀念,最終得出曲面最小的譜等于2,當(dāng)然還有待嚴(yán)格的證明。
數(shù)學(xué)是很奇妙的學(xué)問,它是一個(gè)講推理、講規(guī)則的學(xué)問,通過比較不同的規(guī)則和思想,就可以得到有意義的猜想,這其實(shí)是數(shù)學(xué)研究中的慣用手法。
這與詩經(jīng)里講究的“賦比興”也有著密切的關(guān)系。所謂“比”,即用不同的景物類比,比如楊柳代表離別或者美人的腰肢。講起離別,不免想起《詩經(jīng)》中的“昔我往矣,楊柳依依”,周邦彥筆下“長(zhǎng)條故惹行客。似牽衣待話,別情無極”,以及柳永的名句“楊柳岸,曉風(fēng)殘?jiān)?rdquo;,而說到美人的腰肢,則憶起張先的“細(xì)看諸處好。人人道,柳腰身”,這都是緣于柳條細(xì)而柔所作的類比,更有溫庭筠的“柳絲長(zhǎng),春雨細(xì),花外漏聲迢遞”、周邦彥描寫的“長(zhǎng)亭路,年去歲來,應(yīng)折柔條過千尺”……
種種不同的比較,是數(shù)學(xué)中常用的手段。數(shù)學(xué)研究者們應(yīng)該考慮這個(gè)思路,不能只做題目,不能看到數(shù)字就是數(shù)字、看到方程就是方程,它們中間其實(shí)是有很多可以比較、可以關(guān)聯(lián)之處的。
好問題從何而來
好問題從什么地方來,怎樣才能解決它?首先要了解不同的觀點(diǎn)。歷史上,很多大學(xué)問的完成,往往是不同學(xué)問之間碰撞產(chǎn)生的火花促成的。比如前面提到的外爾,他是一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家,也是一個(gè)偉大的物理學(xué)家,他在量子力學(xué)和幾何學(xué)之間搭建了一座橋梁。而因這座橋梁,也孕育出一批很好的數(shù)學(xué)家,和一個(gè)全新的探究路徑。所以我認(rèn)為,找到自己的方向,是提出好問題的重要途徑。
另外,要解決一個(gè)大問題時(shí),往往要有很好的工具。工具的發(fā)展是不斷精益求精的過程,每個(gè)新工具又促進(jìn)學(xué)問繼續(xù)發(fā)展。新工具讓我們看到不同現(xiàn)象,提升我們看待問題的深度,促發(fā)我們進(jìn)一步發(fā)展工具。工具越多,越能產(chǎn)生更深刻的、更有效的解決問題的方法。每一次工具的進(jìn)步,都能帶動(dòng)有意義的、重要的、突破性的學(xué)問的發(fā)展。
在伽利略時(shí)代,他觀測(cè)到地球是太陽系里的恒星,引發(fā)了牛頓力學(xué)的發(fā)展。此后,人類看得更遠(yuǎn)。到了20世紀(jì)初期,我們了解到太陽系外還有銀河系,以及不同的星云。每一次跳躍都是伴隨著“望遠(yuǎn)鏡”這個(gè)工具的不斷發(fā)展。數(shù)學(xué)上也同樣如此。
比如費(fèi)馬猜想距今已經(jīng)有300多年的歷史。30年前,英國(guó)大數(shù)學(xué)家懷爾斯(Andrew Wiles)才解決了這個(gè)問題。在他之前,幾百年來,大數(shù)學(xué)家們都有興趣來解決這個(gè)問題。費(fèi)馬和歐拉解決了n=3時(shí)的情形,使用了橢圓曲線的方法。19世紀(jì),德國(guó)數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺枺‥rnst Kummer),以為自己可以解決費(fèi)馬問題,雖然沒有成功,但他引入了代數(shù)中的重要概念,即理想(ideal),從而帶動(dòng)一大批其他問題的解決。到了20世紀(jì),出現(xiàn)了更多不同的方法,其中一個(gè)是由日本數(shù)學(xué)家谷山豐(Yutaka Taniyama)、志村五郎(Goro Shimura),以及法國(guó)大數(shù)學(xué)家韋伊(Andre Weil)提出的谷山-韋伊-志村猜想(Taniyama-Weil-Shimura Conjecture),成為解決費(fèi)馬猜想的重要工具,最終由懷爾斯解決了這個(gè)300余年的題目。
欣賞數(shù)學(xué)之美的同時(shí),要欣賞數(shù)學(xué)美與真背后的規(guī)律,通過不斷比較,提出重要的、具有開創(chuàng)性的問題。一個(gè)學(xué)科重要的問題,必須在不斷學(xué)習(xí)中,才能慢慢體會(huì)。
何為偉大的工作
偉大的數(shù)學(xué)家都有一套自己對(duì)學(xué)問的看法(Philosophy),這些系統(tǒng)的、深邃的、嶄新的觀點(diǎn)給古老的數(shù)學(xué)注入新的活力,產(chǎn)生一系列有意義的問題。正如西方戲劇《浮士德》、中國(guó)古典名著《紅樓夢(mèng)》一樣,都是由不同部分組成,每個(gè)部分又自成一格,但無論是牡丹還是綠葉,終須大師提綱挈領(lǐng),方可將零散的部分組合一番,最終形成一幅瑰麗的圖畫。
我們也要?jiǎng)?chuàng)立一個(gè)這樣的綱領(lǐng)。在這綱領(lǐng)的指引下,將各個(gè)不同的學(xué)科分支放在一起,最終構(gòu)建出一座宏偉的大廈。
當(dāng)然,要完成這種宏觀的看法,并非一人一時(shí)之工、一人一時(shí)之問,有時(shí)長(zhǎng)達(dá)一個(gè)世紀(jì),方才看得出這些綱領(lǐng)的威力。
1854年,黎曼給出了幾何學(xué)的一個(gè)綱領(lǐng)。他通過物理學(xué)的等價(jià)原理建造了嶄新的內(nèi)蘊(yùn)幾何,完成了廣義相對(duì)論的重要部分。二十世紀(jì)初期,外爾開發(fā)李群的表示理論和規(guī)范場(chǎng)理論,成為現(xiàn)代理論物理的基礎(chǔ)。韋伊則在上世紀(jì)定下用代數(shù)幾何作為工具硏究數(shù)學(xué)的方向,完成了數(shù)學(xué)歷史上一個(gè)偉大猜想——Weil猜想。我的朋友朗蘭茲(Robert Langlands)五十多年前提出著名的Langlands綱領(lǐng),用群表示理論研究數(shù)學(xué),產(chǎn)生了一大批重要的方向和問題。這些工作可謂大氣磅礴。
凡是偉大的工作,都是飽讀文獻(xiàn)、“望盡天涯路”得來的結(jié)果。我在20世紀(jì)70年代開創(chuàng)現(xiàn)代幾何分析時(shí),主要的信念是用函數(shù)和定義的微分方程來描述空間,又通過幾何來了解函數(shù)和微分方程。
好問題的幾個(gè)特征
數(shù)學(xué)與文學(xué)有相通之處。文學(xué)用簡(jiǎn)潔的語言描述我們看到的現(xiàn)象。數(shù)學(xué)也喜歡簡(jiǎn)潔。一般來講,假如命題不夠簡(jiǎn)潔,則難以深入,當(dāng)然,深入的問題也不一定很簡(jiǎn)潔。總的來說,一個(gè)好的數(shù)學(xué)問題,要有深度、簡(jiǎn)潔、漂亮、有趣。
什么叫深度?深度就是解決一個(gè)問題后,可以引領(lǐng)新的方向,看到更深遠(yuǎn)的圖景。
什么是簡(jiǎn)潔、漂亮?在數(shù)學(xué)上,大自然的美景可以通過很簡(jiǎn)單的方程解釋清楚。牛頓的方程、愛因斯坦方程、狄拉克方程,都是極簡(jiǎn)潔的,總結(jié)了大自然之中很多漂亮的現(xiàn)象,包含了大自然的奧秘。文學(xué)用很簡(jiǎn)單的語言描述大自然的景色,讓我們產(chǎn)生心理的共鳴。好的數(shù)學(xué),也能在我們心里產(chǎn)生共鳴。當(dāng)年,我聽到卡拉比的講話后,產(chǎn)生很大的震撼。我覺得如果能夠了解他提出的猜想,我將解決數(shù)學(xué)里一大片問題。
第一流的問題一定要有深度,同時(shí)本身很漂亮,很有意義,讓人很有興趣。比如龐加萊猜想、費(fèi)馬問題、卡拉比猜想等,都是有深度、有趣味、很簡(jiǎn)潔的大問題,是一流的問題。
研究數(shù)學(xué)在于研究數(shù)學(xué)的深度、意義和內(nèi)容。幾十年來,我們看到,有些重要的問題被解決了,最出名的是四色問題(Four color problem),即一張地圖只需四種顏色標(biāo)記就足夠。其解決的最后幾步,是通過計(jì)算機(jī)完成的。但我們對(duì)這個(gè)問題本身的意義,其組合意義、幾何意義,還沒有深入了解。在我看來,這個(gè)問題其實(shí)沒有全部解決,希望以后能夠更深入地了解它?,F(xiàn)在很多數(shù)學(xué)問題,尤其是應(yīng)用數(shù)學(xué),都是計(jì)算機(jī)算出來的,有時(shí)候可能是對(duì)的,有時(shí)候可能是不對(duì)的。這其中最大的問題是,我們對(duì)問題的結(jié)構(gòu)、對(duì)整個(gè)學(xué)問的結(jié)構(gòu)并不了解,這些尚不能算是第一流的答案,也不可能在工業(yè)界產(chǎn)生引領(lǐng)風(fēng)騷的一流技術(shù)。
對(duì)于一些問題來說,趣味性比深度更大。我也做過類似的問題,比如我48年前完成的一篇小文章,證明了一個(gè)空間,曲率大于0時(shí),只要不是緊致的,其體積無窮大。雖然不算是個(gè)很有深度的問題,“雖小道,必有可觀者焉”。問題只要有趣味,都可以算是一個(gè)好問題。
提高找出重要問題的能力
我們希望學(xué)生有視野、要用功、要發(fā)問,這是很重要的訓(xùn)練。有視野很重要,跑到高山上以更廣闊的視野看世界。如果沒有工具,就只能遠(yuǎn)望,因此掌握工具也很重要。20世紀(jì)70年代,我為了解決不同的問題,讀了很多書,包括量子力學(xué)、幾何等等,從中獲得了工具,得出了重要的成果。這里我也希望大家做學(xué)問的時(shí)候,一定要一步一步扎實(shí)地走。提出問題是一個(gè)最重要的步驟,提出問題之后還要能夠解決它,就算不能解決,也要探索出新的工具、新的方向。
我認(rèn)為,今天的中國(guó)基礎(chǔ)科學(xué)想要發(fā)展,最主要的是提出問題。我們要培養(yǎng)現(xiàn)在的年輕人,幫助他們提高找出重要問題的能力。問一個(gè)有意思的問題,同時(shí)解決它,假如解決的方法是前人沒有走過的路,這個(gè)過程令人滿足,比成為世界上最富有的人還令人高興。這也是我做學(xué)問的感想。
當(dāng)初完成卡拉比猜想之后,我引用了晏幾道的兩句詞“落花人獨(dú)立,微雨燕雙飛”。以此來形容自己的心情。我打算解決卡拉比猜想的時(shí)候,沒有人同意這個(gè)猜想是對(duì)的。“落花人獨(dú)立”說的是,我獨(dú)立地完成它、欣賞它,覺得很滿意。而“微雨燕雙飛”,是描述我的感覺,覺得自己與大自然融合在一起。
我想,做一流學(xué)問的學(xué)者都有類似感受,這就像畫家完成一幅漂亮圖畫之后的心境。我也堅(jiān)持要鼓勵(lì)年輕的學(xué)者,好好地想,學(xué)好的學(xué)問、問好的問題,為探索大自然的奧秘努力,為尋找大自然中的規(guī)律而探討學(xué)問。